La deducción de la ecuación de onda unidimensional.

Es bien sabido que la física a día de hoy es capaz de describir eventos ocurridos en la naturaleza con una precisión pasmosa, todo esto producto de su enfoque altamente matemático, mejor conocido como la "matematización" de los sistemas físicos [1]. Esto último nos puede dar material de sobra para una larga charla acerca del estado ontológico de las matemáticas, así como de la relación entre ésta y las ciencias naturales. Sin embargo, dejemos eso para después. [2]

La naturaleza es, en sí, un conjunto de sistemas articulados en torno a un dinamismo natural bien definido y estructurado el cual es posible representar, no en su totalidad, mediante un modelado matemático. Así pues, tenemos diversa cantidad de sistemas que responden a los distintos modelos que los científicos han formado a lo largo del tiempo. Uno de ellos es la cuerda vibrante.

Al momento de tocar la guitarra, el martilleo de las cuerdas de un piano o cualquier evento que involucre una cuerda en tensión teniendo pequeñas vibraciones transversales, estamos hablando de un sistema físico que se corresponde con el problema de la ecuación de onda unidimensional. Como era de esperarse, es posible representar este sistema físico en términos matemáticos, esto es, podemos deducir una ecuación que describa la deflexión de una cuerda a lo largo del tiempo.

Deducción de la ecuación de onda

Supongamos que tenemos una cuerda tensada en sus dos extremos, esto puede darse si tomamos una cuerda de guitarra y la tensamos mediante las clavijas y el puente. Observamos, entonces, que existen dos fuerzas que actúan sobre la cuerda:

Comencemos con la "matematización" del problema: De nuestra cuerda de guitarra, observamos que existen dos fuerzas actuando sobre ella a un ángulo alfa y beta respectivamente. Llamemos a la tensión en alfa una T1 (Tensión 1) y a la tensión en beta una T2 (Tensión 2) . Observamos también que los extremos de la cuerda se encuentran en x y en x + ∆x. Esto implica que la longitud de nuestra cuerda es ∆x (al menos es la parte de la cuerda que estamos tensando y que nos interesa).

Como no hay movimiento del segmento en el eje horizontal, entonces, por la primera ley de Newton, las tensiones en este eje deben cancelarse. Podemos deducir pues:

T2 Cos(β) - T1 Cos(α) = 0 ∴ T2 Cos(β) = T1 Cos(α) = T (1) (Donde T es simplemente una fuerza)

También sabemos, por la segunda de ley Newton, que el movimiento en el eje vertical del sistema será descrito por la masa de la cuerda y la aceleración en esa dirección de la cuerda. Obtenemos entonces:

T2 Sen(β) - T1 Sen(α) = ma (2)

Sabemos que la aceleración es la segunda derivada de una función respecto al tiempo. Para la masa, debemos expresarla en términos de su densidad lineal:

ρ = m/L ∴ m = ρL

Donde L es la longitud del segmento de cuerda que me interesa, o sea, ∆x y ρ es la densidad lineal de la cuerda. Sustituyendo m y a en (2):

T2 Sen(β) - T1 Sen(α) = ρ∆x ∂^(2)u(x,t)/∂t^(2) (3)

Dividimos la ecuación (3) entre (1):

Tan(β) - Tan(α) = [(ρ∆x)/T] ∂^(2)u(x,t)/∂t^(2) (4)

La tangente de los ángulos es igual a la pendiente de la recta tangente a la curva en dicho punto, esto quiere decir, que la tangente de cada ángulo es la derivada de la función u respecto a la posición x y evaluada en los puntos x y x + ∆x.

Dividiendo entre ∆x y tomando el límite cuando ∆x tiende a cero:

∂^(2)u(x,t)/∂x^(2) = (ρ/T) ∂^(2)u(x,t)/∂t^(2)

Escribiendo en una forma más convencional, y tomando a (ρ/T) como C^(2):

∂^(2)u(x,t)/∂x^(2) = [C^(2)] ∂^(2)u(x,t)/∂t^(2) (5)

Donde (5) es la ecuación de onda para una cuerda vibrante.

Conclusión

Hemos deducido la ecuación de onda unidimensional y ésta ha resultado ser un ecuación diferencial parcial que se puede resolver por diversos métodos, todos ellos muy interesantes.

~Rafael

Referencias y Bibliografía:

[1] C.B. Martin, The Mind in Nature (Oxford: Clarendon Press, 2008) p. 74

[2] Para mayor información: M. Artigas, Filosofía de la naturaleza (EUNSA, 2003)

[3] B. Arfken, Mathematical Methods por Physicists (Elsevier: Academic Press, 2005)